Topologie der Quantendimension – Twists

Um den Unterschied zwischen Bosonen und Fermionen besser zu verstehen, betrachten wir nun die komplexe Phase. Beginnen wir mit dem einfachsten Zustand j=0. Zu jedem Winkel gehört ein drehendes Rad, wobei der Radius immer gleich groß ist – aber wie ist es mit der Phase?

Die Phase kann im Prinzip jeden beliebigen Wert annehmen, ohne dass die Wahrscheinlichkeit sich ändern würde. Wir modellieren diese unterschiedlichen Phasen zu jedem Raumwinkel mit einem Papierstreifen. Die Richtung vom jedem der Pfeile auf dem Papierstreifen zeigt die Phase am entsprechenden Winkel an.

Aufgeschnitten sieht zu jedem Winkel konstante Phase so aus. Dieser Twist ist die einfachst mögliche Änderung der Topologie dieser Phasen. Wir können entweder rechtsherum oder linksherum twisten. Überlagern wir die rechts- und links getwisteten Phasen, ergibt sich der Realteil von exp(i ϕ/2), also cos(ϕ/2).

Was passiert, wenn wir die Phase vom Zustand l=0 erst aufschneiden, dann twisten, und dann wieder zusammenkleben? Topologisch ergibt sich so ein Möbius-Band. Das Möbius-Band hat nur eine Oberfläche, so dass man sich nach einer Drehung um 360° auf der Rückseite, und erst nach 720° wieder am Ausgangspunkt befindet!

Die Überlagerung vom rechts- mit dem linksgetwisteten Möbiusband ergibt wieder cos ϕ halbe, wobei nun aber der Winkel nun von 0° bis nach 720° läuft. So ergibt sich der doppeldeutige Spinzustand mit nur einem Knotenpunkt.

Wiederholen wir die Operationen Aufschneiden, twisten, zusammenkleben, können für ausgehend vom Zustand j=0 mit trivialer Topologie alle anderen Zustände konstruieren. Die Fermionen mit ungerader Anzahl von Twists sind alles Möbiusbänder mit nur einer Oberfläche, im Gegensatz zu den Bosonen mit einer geraden Anzahl von Twists.

Das ist der wesentliche Unterschied der Phase der Quantenzustände von Bosonen und Fermionen: Nur die Fermionen füllen den 720° Raum komplett aus, die Bosonen geben sich bereits mit 360° zufrieden.