Permutationen und Transformationen – Operationen mit Qubits

Als Vorbereitung der Anwendung Quantenkryptographie in der nächsten Station untersuchen wir hier zunächst Basistransformationen beim Spin. Dieses Qubit beschreibt den Spin „up“ – aber ist das auch ein Eigenzustand? Ja und nein – das kommt auf die Drehachse an! Bezüglich Drehungen um die y-Achse ist Spin „up“ kein Eigenzustand, da die Spinrichtung durch die Drehung verändert wird.

Up wird zu down – dann wieder zu up… eine Permutation! Spin up ist aber Eigenzustand bezüglich Drehung um die z-Achse:
Spin „up“ bleibt wo er ist – die Richtung ändert sich nicht, was ja genau den Eigenzustand definiert.

Das gilt allgemein: Hier ein beliebiges Qubit – und eine beliebige Drehachse – die Drehung ergibt einen Kegel. Stimmen Zustand und Drehachse überein, ist derselbe Ausgangszustand aber ein Eigenzustand! Das andere Extrem ist die dazu senkrecht stehende Drehachse, wo der Kegel zu einer Ebene entartet.

In U2-07 Slide 3 haben wir das Stern-Gerlach Experiment diskutiert. Das inhomogene Magnetfeld gibt eine z-Achse vor. Der Messprozess bzw. die Wechselwirkung führt dazu, dass der beliebige Ausgangszustand zu einem Eigenzustand bezüglich der vom Magnetfeld vorgegebenen z-Achse wird.

Der Ausgangszustand muss sich sozusagen nach dem vorgegebenen Schlitz ausrichten… Warum muss das Magnetfeld dafür inhomogen sein? Wäre es homogen, würde der Spin einfach nur auf dem Kegelmantel drehen, ohne sich auszurichten… Das inhomogene Magnetfeld führt dazu, dass der Pfeil spiralförmig auf die z-Achse zudreht und dabei kürzer wird. So wird der Zustand auf die z-Achse projiziert.Ist der Ausgangszustand genau senkrecht zur z-Achse, ergibt sich Pfeillänge 0, also je 50% Wahrscheinlichkeit für up oder down – ein vollkommen gemischter Zustand. Ein Eigenzustand ändert sich durch die Projektion überhaupt nicht – es ergibt sich ein sicheres Ergebnis, hier Spin „down“.Jetzt drehen wir das inhomogene Magnetfeld um 90°. Derselbe Ausgangszustand, der eben noch Eigenzustand war, ist jetzt kein Eigenzustand mehr. Die Projektion ergibt einen gemischten Zustand mit je 50% Wahrscheinlichkeit für parallele oder antiparallele Ausrichtung vom Spin zum Magnetfeld.

Je nach Messachse ergibt derselbe Ausgangszustand also ein vorhersagbares Ergebnis, oder reinen Zufall! Der Zustand entspricht bestimmten Koordinaten – die in der einen oder der anderen Basis interpretiert werden. Diese Basistransformation ist der wesentliche Schritt für Quantenkryptographie mit Lichtteilchen, also Photonen. Mehr dazu im nächsten Kapitel.