Permutationen und Transformationen – Klangpermutationen

Musik in der falschen Basis abzuspielen ist im Grunde eine spezielle Art von Verschlüsselung – von Kryptographie! Diese Idee – also Verschlüsselung einer Botschaft durch Koordinaten, die in der falschen Basis gelesen werden – wurde früher tatsächlich verwendet, allerdings nicht mit Noten, sondern mit Buchstaben.

Wir interessieren uns aber für Permutationen auch aus einem ganz anderen Grund – denn diese sind das Grundgerüst aller Operationen in der Quantendimension.

Beginnen wir mit der einfachst möglichen Permutation – dem Vertauschen von zwei Gegenständen. Nochmaliges Vertauschen führt hier zurück zum Anfangszustand. Legen wir noch einen weiteren Gegenstand dazu. Wenn wir jetzt eine Vertauschung anwenden, gibt es drei Möglichkeiten, 123 wird zu 213, 321, oder 132

Wenn wir noch eine Vertauschung anwenden, gibt es nur zwei unterschiedliche Möglichkeiten gibt, also 123 zu 231 oder 312. Die dritte Möglichkeit würde wieder den Ausgangszustand ohne Permutation ergeben.

Ähnlich wie in U1-01 ergibt sich eine Baumstruktur, immer mit zwei Abzweigungen in die folgende Generation: entweder nur einen Gegenstand anlegen ohne zusätzliche Permutation, oder Anlegen und Permutieren.

Dieses Bild wiederholt sich nun immer wieder, wenn weitere Gegenstände dazukommen. Im 13. Stockwerk sind dann alle 13 Fakultät, das sind etwa 6 Milliarden Permutationen nach diesem Schema klassifiziert. Wer hätte das gedacht, dass man so viele Möglichkeiten hat, Noten zu schreiben…Und alle Permutationen lassen sich verstehen, wenn wir die einfache Vertauschung von zwei Gegenständen verstehen! Vertauschungen sind aber nicht so einfach, wie sie aussehen – als kleinen Vorgeschmack davon stellen wir uns die Objekte 1, 2, 3 als Koordinatenachsen vor – die Vertauschungen entsprechen dann Drehungen um 90 Grad.

Wie in U2-06 Slide 2 – wo es um Drehungen ging, zum Beispiel von einer Banane. Die 90°-Drehung um die 1-Achse entspricht dem Vertauschen von Achse 2 und 3. Jetzt drehen wir um die 3-Achse, was dem Vertauschen von Achse 1 und 2 entspricht.

Die Reihenfolge spielt eine entscheidende Rolle: Wenn wir die Banane erst um die 3-Achse drehen, und dann um die 1-Achse, ist der Endzustand ein ganz anderer. Das heißt, die Drehoperationen kommutieren nicht – genau wie die Permutationen. Wenn wir also die Objekte, die permutiert werden, als Dimensionen interpretieren, haben wir hier das Grundgerüst von Drehungen in beliebig hohen Dimensionen gefunden.

Das ist ein weiterer Puzzlestein für die Beantwortung der Frage, ob die Zukunft eine Permutation der Vergangenheit ist – in der Quantendimension wird die Zeitentwicklung tatsächlich als komplexe Drehung beschrieben – das ist der Kern der sogenannten Schrödinger- Gleichung.

Die Wahl der Basis und der entsprechenden Koordinaten ist aber beliebig. Diese Idee führt zum sogenannten Eichprinzip – einer wesentlichen Grundlage des Standardmodells der Elementarteilchenphysik.