Quantenspiegel – Drehoperator

Mit einfachen Drehoperationen gelingt es uns, alle möglichen Schwingungsmoden auf der zweidimensionalen Kugeloberfläche zu erzeugen, indem wir die Gesamtzahl l von azimutalen Knotenlinien durch geeignete Drehoperationen in m rechts- bzw. linksdrehende Knotenlinien umwandeln. Da wir eine Kugel mit festem Radius betrachten, spielen radiale Knotenlinien bei diesen Überlegungen keine Rolle.

Werfen wir einen genaueren Blick auf die Drehoperatoren. Ein Operator manipuliert Eigenschaften eines Zustands. Ein Zustand ist allgemein ein komplexer Gegenstand mit vielen verschiedenen Eigenschaften. Dabei könnte es sich auch um eine Banane handeln. Bezeichnen wir den Zustand mit B. Der Zustand „Banane“ hat viele verschiedene Eigenschaften, wie z. B. Form, Farbe, Geschmack und natürlich kann man die Banane auch drehen.

In drei Dimensionen gibt es drei verschiedene Drehachsen: Die x- y- oder z-Achse. Der Drehoperator D manipuliert ausschließlich die Dreheigenschaft der Banane. Nur weil wir sie zum Beispiel um 90 Grad um die z-Achse drehen, verändert die Banane nicht ihren Geschmack, oder?

Wir können auch mehrere Drehungen nacheinander durchführen, z. B. erst eine 90° Drehung um die z-Achse und dann eine 90° Drehung um die y-Achse. Die Banane steht nicht mehr, sie liegt auf dem Rücken.

Bei den Drehoperationen gibt es eine Besonderheit, denn führen wir dieselben Drehoperationen in umgekehrter Reihenfolge durch, also erst eine Drehung um die y-Achse und dann um die z-Achse, ergibt sich bei identischem Ausgangszustand ein anderer Endzustand der Banane. Die Banane liegt nicht mehr auf dem Rücken, sondern auf der Seite. Die Drehoperationen kommutieren nicht, das heißt, die Reihenfolge der Anwendung spielt eine entscheidende Rolle.

Betrachten wir nun einen etwas anderen Zustand: eine um die z-Achse rotierende Banane, die wir mit R_zB bezeichnen. Die Anwendung eines Drehoperators um die Rotationsachse der Banane ändert den Zustand nicht, es liegt ein sogenannter Eigenzustand vor. Allgemein gesprochen ändert sich der Eigenzustand nicht durch Anwendung des zugehörigen Operators.

Aber Vorsicht! Nur der Drehoperator, der um die vorgegebene Rotationsachse des Zustands eine zusätzliche Drehung ausführt, ändert den Zustand nicht! Eine Drehung um die falsche Achse ändert den Zustand sehr wohl!

Bob ist also nur Eigenzustand bezüglich Drehung um die z-Achse… bzw. war Eigenzustand…