Quantenorgel – Pauli-Prinzip

Alle Quantenzustände haben ihren Ursprung in der Spiegelebene.

Wir erzeugen die Spinzustände up und down durch den hier gezeigten Doppelpfeil. Kombinierte Zustände mit zwei Spins können wir erzeugen, indem wir den Doppelpfeil auf die jeweilige Position des ersten Spins verschieben. Es ergeben sich die vier Kombinationen up/up, up/down, down/up und down/down.

Für ein tieferes Verständnis von Zwei-Spin-Zuständen, und allgemein Mehr-Teilchen-Quantenphysik, spielen Symmetrien unter Vertauschung eine wesentliche Rolle. Solche Symmetrien begegnen uns auch bei klassischen Schwingungszuständen: Erinnern wir uns an die Tasse mit Henkel.

Durch Spiegelung an der gezeigten Ebene am Henkel geht der Zustand mit Schwingungsbauch am Henkel in sich selber über, der Zustand mit Schwingungsknoten am Henkel aber in sein Negatives.

Unter Vertauschung von A mit B ergibt sich also entweder Symmetrie – AB plus – oder Antisymmetrie, AB minus.

Symmetrie oder Antisymmetrie unter Vertauschung      von A und B findet sich als Prinzip bei Zwei-Teilchen Zuständen wieder: Denn die Kombinationen aus zwei ununterscheidbaren Spins überlagern zu gemeinsamen Schwingungsmoden, die entweder symmetrisch oder antisymmetrisch unter Vertauschung der Spins A und B sind.

Die drei symmetrischen Spinkombinationen werden als Triplett bezeichnet; die antisymmetrische als Singulett.

Der gesamte Zwei-Elektronen-Zustand besteht aus einem Orts- und einem Spinzustand. Das symmetrische Spintriplett kombiniert mit dem antisymmetrischen Ortszustand, und das antisymmetrische Spinsingulett mit dem symmetrischen Ortszustand.

Dies ist das Pauli-Prinzip: Der Zustand von zwei Elektronen A und B muss insgesamt antisymmetrisch sein!

Aus dem Pauli-Prinzip folgt aber auch, dass jeder Spinzustand nur einmal besetzt werden kann.

Dies liegt an der Doppeldeutigkeit: Die Rotation um 360 Grad führt beim Spin zu einem Vorzeichenwechsel! Erst nach 720 Grad ist der Ausgangszustand wieder erreicht. Für einen einzelnen Spin ist dies irrelevant, da die Phase des drehenden Rades unbeobachtbar ist.

Ist derselbe Spinzustand aber doppelt besetzt, ergibt die Vertauschung der Teilchen A und B bzw. die Drehung einer der beiden Spins um 360 Grad aber wegen der Doppeldeutigkeit genau das negative des Ausgangszustandes.

Ein identischer Zustand kann aber nur dann gleich seinem eigenen Negativen sein, wenn er gleich Null ist.

Bisher haben wir vereinfachend nur die Zustände auf einem einzelnen Großkreis betrachtet. Die Geometrie der Quantendimension ist weitaus komplexer. Links zeigen wir die uns bekannte zweidimensionale Kugeloberfläche in drei Dimensionen. Rechts zeigen wir entsprechende Punkte der dreidimensionalen Kugeloberfläche in vier Dimensionen, die wir stereographisch projizieren, also so verzerren, dass eine Darstellung überhaupt möglich wird.

In der Tat schließt der Großkreis in vier Dimensionen erst nach doppelter Umrundung der Kugel in drei Dimensionen. Die Knotenlinie des Spinzustands in der Quantendimension wird durch diese Projektion zu einem Knotenpunkt auf der Blochkugel. Die Antipode des Knotenpunktes ist der Ort maximaler Amplitude.

Tatsächlich gehen bei dieser Projektion nicht nur 360 Grad pro Großkreis, sondern auch noch eine ganze Dimension verloren – die unsichtbare Phase. Einem Punkt auf der Blochkugel entspricht in der Quantendimension ein ganzer Großkreis. Alle unsichtbaren Phasen befinden sich auf ineinander verschlungenen Großkreisen.

Betrachten wir eine Schar von Punkten auf der Blochkugel, entsprechen dieser in der Quantendimension einem faszinierendem System von ineinander verschlungenen Ringen.

Aber dies ist erst der Anfang, der Aufbruch in die Quantendimension – darf ich mich vorstellen? Mein Name ist Omega.