Kugelschwingungen – Schwingende Seifenblase

Zur Klassifikation von Spektren in einer Dimension gibt es ein zentrales Merkmal: die Anzahl von Knotenpunkten, wie bei der schwingenden Saite und dem Tassenrand gesehen. Dieses Konzept wollen wir nun auf zweidimensionale Schwingungen übertragen, um Schwingungen auf einer Kugeloberfläche zu untersuchen.

Schwingende Kugeln kann man ganz einfach erzeugen: Seifenblasen. Um die Schwingung sichtbar zu machen, nehmen wir eine Halbkugel. Auf einem Vibrationsgenerator können wir diese Halbkugel zum Schwingen bringen. Die Schwingung sieht meistens ziemlich wabbelig und irregulär aus.

Wenn wir die Frequenz, mit der wir die Schwingung anregen, verändern, sehen wir im Fourier-Bild ganz bestimmte Punkte, bei denen sogenannte Resonanzfrequenzen entstehen. Was hat das zu bedeuten?

Schauen wir uns eine spezielle Resonanzfrequenz an. Wird die Seifenblase mit dieser Frequenz angeregt, ergibt sich eine sehr reguläre, periodische Schwingung. Wir können diese Schwingung mit sich selbst überlagern. Wenn wir dies mit einer halben Periode Zeitversatz machen, dann ergibt sich folgendes Bild. Die Knotenpunkte bleiben konstant und bei den Schwingungsbäuchen ergibt sich jeweils die maximale Auslenkung. Aus Knotenpunkten werden durch Rotation um die vertikale Achse Knotenlinien auf der zweidimensionalen Seifenhaut. Insgesamt erhalten wir fünf Knotenlinien, es gilt: l=5.

Wie sieht die darauf folgende Resonanzfrequenz aus? Wenn wir die Frequenz passend einstellen, bekommen wir diese reguläre Schwingung. Auch hier können wir wieder die Schwingung mit sich selbst überlagern, mit einer halben Periode Zeitversatz. So können wir wieder die Position der Knotenpunkte und der Schwingungsbäuche ablesen. Aus Knotenpunkten werden Knotenlinien auf der Kugeloberfläche durch Rotation. Insgesamt erhalten wir sieben Knotenlinien.

Das gesamte Spektrum von Resonanzfrequenzen lässt sich durch die Anzahl von Knotenlinien beschreiben. Aus Symmetriegründen kann es nur eine ungerade Anzahl von Knotenlinien geben, da die Schwingung per Konstruktion immer auch ihr eigenes Spiegelbild sein muss.