Kugelschwingungen – Kugelflächenfunktion

Das Spektrum der schwingenden Saite besteht aus Vielfachen der Grundfrequenz f₀.

Diese einzelnen Schwingungsmoden können wir durch die Anzahl von Knotenpunkten klassifizieren.

Es gibt im Allgemeinen zwei verschiedene Arten von Randbedingungen. Entweder befinden sich am Rand Knotenpunkte, oder  Schwingungsbäuche. Physikalisch entspricht dies einem geschlossenen oder einem offenen Ende. Betrachten wir die einfachste Schwingungsmode mit zwei offenen Enden. Diese hat einen Knotenpunkt in der Mitte, und am Rand jeweils Schwingungsbäuche. Wir biegen nun diese Schwingung auf einen Halbkreis. Lassen wir diesen Halbkreis um die z-Achse rotieren, ergibt sich eine Kugel. Auf der schwingenden Kugel ergibt sich eine azimutale Knotenlinie am Äquator.

Dasselbe Spiel können wir mit der folgenden Resonanzfrequenz mit zwei Knotenpunkten machen. Wir biegen die Schwingung auf einen Halbkreis und lassen den Halbkreis wieder um die z-Achse rotieren. Es ergibt sich eine schwingende Kugel mit zwei azimutalen Knotenlinien.

Dies lässt sich nun immer weiter fortsetzen. Die Schwingung mit l Knotenpunkten wird durch Biegen und Drehen zu einer Kugelschwingung mit l Knotenlinien. Per Definition sind diese Schwingungen der Kugel rotationssymmetrisch. Diese Kugelschwingungen sind auch ihr eigenes Spiegelbild: Positionieren wir die Spiegelebene genau in der Mitte, so ergibt sich ein identisches Spiegelbild. Mit l bezeichnen wir die Gesamtzahl von azimutalen Knotenlinien.

Für l=0 gibt es keine Knotenlinie. Für l=1 gibt es eine, aber diese besonders symmetrische Schwingung ergibt nicht das vollständige Spektrum der Möglichkeiten, denn die Knotenlinie kann auf der Kugel ja auch gedreht werden. Wir drehen die eine Knotenlinie nach rechts, oder im Spiegelbild nach links. Somit ergeben sich zwei neue Schwingungsmoden auf der Kugeloberfläche mit einer Knotenlinie: Schwingungen mit rechts- bzw. linksdrehender azimutaler Knotenlinie.

Bei zwei Knotenlinien gibt es die Möglichkeit, nicht nur eine, sondern auch zwei Knotenlinien nach rechts zu drehen, im Spiegelbild entsprechend nach links.

Bei drei Knotenlinien kann man erst eine, dann zwei, oder alle drei Knotenlinien nach rechts drehen, im Spiegelbild entsprechend nach links.

Insgesamt ergeben sich also auf der Kugeloberfläche (2l+1) mögliche Schwingungsmoden mit l Knotenlinien. Ausgehend von der einfachsten Schwingung lassen sich durch Hinzufügen von weiteren Knotenlinien und deren Drehungen alle möglichen Grundmoden auf der zweidimensionalen Kugeloberfläche erzeugen.