Atommodelle – Zustände & Operationen beim H-Atom

Seit Entwicklung des Bohr‘schen Atom-Modells sind mehr 100 Jahre vergangen, in denen sich die Quantenphysik weiterentwickelt hat. Eine wichtige Weiterentwicklung im Vergleich zum Bohr’schen Atom-Modell ist die Einführung von Operatoren und Zuständen zur Beschreibung und Manipulation des Elektrons in der Quantendimension. Wie hängen diese beiden Beschreibungen miteinander zusammen? Eine erste Weiterentwicklung des Bohr’schen Atommodells erfolgte durch De Brogli (Aussprache), der den Elektronenbahnen stehende Wellen zugeordnet hatte. Hier zeigen wir den Fall l=2. Entsprechend gibt es in der Quantendimension Ortszustände des Elektrons mit zwei Knotenlinien.

Das Postulat L gleich n mal h quer wird in der Quantenphysik neu gedeutet:  Der Drehimpuls wird zum Drehoperator. Als Basis für die Elektronzustände wählen wir Eigenzustände bezüglich des Drehoperators um die z-Achse.

L gleich n mal h quer lässt sich in der Quantenphysik nicht mehr so halten. Allgemeine Superpositionszustände haben keinen definierten Drehimpuls, sondern nur die entsprechenden Eigenzustände! Daher ist h quer der kleinstmögliche messbare Unterschied des Drehimpulses.

Um die Quantenzustände zu verstehen, ist es hilfreich, zunächst klassische  Schwingungszustände und Operatoren zu untersuchen. Unter allen möglichen Schwingungszuständen auf einer Scheibe betrachten wir hier die Eigenzustände des Energieoperators. Diese haben zwei Arten von Knotenlinien – radial oder azimuthal, oder Kombinationen aus beiden. Diese Grundschwingungen helfen uns beim Verständnis der entsprechenden Quantenzustände – auch wenn wir prinzipiell niemals erkennen können, wie diese Zustände tatsächlich beschaffen sind.

In jeder Bahn n=1, 2, 3 usw. haben die Schwingungszustände im Wasserstoff in etwa gleiche Bindungsenergie, das heißt, sie haben gleich viele Knotenlinien. In der innersten Bahn n=1 haben wir überhaupt keine Knotenlinien, was dem Grundzustand entspricht. Danach kommt n=2 mit einer Knotenlinie, entweder radial oder azimuthal. Danach kommt die dritte Bahn, n=3 mit zwei Knotenlinien, also entweder zwei radiale, eine radiale und eine azimuthale, oder zwei azimuthale Knotenlinien, entsprechend l=0, 1, 2.

So sähe das Spektrum in der Quantendimension aus, wenn das Elektron ein zweidimensionales Objekt wäre. In drei Raumdimensionen ergeben sich bei radialen Knotenlinien wegen der Kugelsymmetrie keine weiteren Möglichkeiten. Bei einer azimuthalen Knotenlinie gibt es in drei Dimensionen mehr Kombinationsmöglichkeiten, da die Knotenlinie waagerecht oder senkrecht zur z-Achse liegen kann. Pro zusätzlicher azimuthaler Knotenlinie macht das zwei zusätzliche Zustände.

So sähe das Spektrum in der Quantendimension aus, wenn das Elektron ein dreidimensionales Objekt wäre. Tatsächlich hat die Quantendimension mehr zu bieten: Der Spin ist eine zusätzliche Schwingungsmode des Elektronzustands, der projiziert auf drei Dimensionen die möglichen Eigenzustände „up“ und „down“ bezüglich des Drehoperators hat. Dieser zusätzliche Freiheitsgrad des Elektrons wird hier durch eine weitere Spiegelebene visualisiert – die Anzahl der Eigenzustände verdoppelt sich, der Elektronzustand ist somit das Produkt aus Orts- und Spinzustand in der Quantendimension.

So sieht also eine mögliche Weiterentwicklung des Bohr’schen Atommodells in die Quantendimension aus:

Erstens wird aus dem Drehimpuls der Drehoperator: h quer entspricht somit dem kleinstmöglichen messbaren Unterschied vom Drehimpuls.

Zweitens können wir durch Abzählen von Knotenlinien erklären, warum es genau 2n² Eigenzustände pro Bahn oder Energiestufe n gibt, mit n=1, 2, 3 und so weiter.