Terra incognita der Quantendimension – „Nichtlokale Reiskörner“

Wir versinnbildlichen die Dimensionen eines Qubits durch Reiskörner. Jedem Reiskorn entspricht also ein freier Parameter bzw. eine Dimension innerhalb der Quantendimension. Das erste Qubit hat vier Dimensionen. Aufgrund der Bedingung P■ + P□ =1 gibt es drei frei wählbare Parameter.

Jedem Schachfeld weisen wir nun eine Nummer zu. Das erste Feld bezeichnen wir mit Qubit 1{3, 0}. Im Experiment beobachtbar sind von diesen drei Dimensionen nur zwei, da nur Phasendifferenzen zu einem registrierbaren Effekt führen. Häufig wird zur Darstellung eines Qubits die sogenannte Bloch-Kugel verwendet.

Die Kombination aus zwei Q-Bits hat acht Dimensionen; nur sieben sind voneinander unabhängig. Pro Qubit werden lokal drei Dimensionen zugeordnet, ein rotes Reiskorn bleibt übrig, das einer nichtlokalen Dimension entspricht. In dieser Dimension schwingt der Zustand |Ω>. Alle weiteren Schwingungen in dieser siebten Dimension lassen sich durch die mathematische Operation einer lokalen, komplexen Drehung aus Omega ableiten. Wir können uns dies wie einen Stammbaum vorstellen, bei dem es Verwandte gibt, die miteinander über bestimmte Wege in Verbindung stehen. Zum Beispiel können alle anderen Bell-Zustände auf diese Weise aus Omega erzeugt werden.

|Ω>≡|Ф^+> =1/√2(|00> +|11>)

|Ф^-> =1/√2(|00> -|11>)

|Ψ^+> =1/√2(|01> +|10>)

|Ψ^-> =1/√2(|01> -|10>

Es reicht also, nur diese eine Schwingung als Repräsentant der nichtlokalen Dimension zu nehmen, sozusagen als Vertreter der Familie. Die zwei ersten Felder als Einheit beschreiben wir mit der Nummer Qubit 2{6, 1}, wobei die erste Zahl in der geschweiften Klammer die Anzahl lokaler, und die letzte Zahl die Anzahl nichtlokaler Dimensionen beschreibt.

Nun gehen wir einen Schritt weiter und betrachten die Kombination aus drei Q-Bits mit 16 Dimensionen, von denen 15 frei wählbar sind. Pro Qubit werden lokal drei Dimensionen zugeordnet, sechs rote Reiskörner als Repräsentanten der nichtlokalen Dimensionen bleiben übrig.
Welche Repräsentanten haben diese sechs nichtlokalen Dimensionen? Es gibt drei Möglichkeiten, um aus diesen drei Schachfeldern zwei Felder auszuwählen. Für jede dieser 3 Kombinationen gibt es je eine Schwingung Omega, die diese beiden Felder verbindet. Dies sind die ersten drei roten nichtlokalen Dimensionen. Es bleiben noch drei nichtlokale Dimensionen übrig. In diesen Dimensionen befinden sich Schwingungen, die nicht nur zwei, sondern alle drei Felder nichtlokal verbinden. Es zeigt sich, dass es genau zwei Typen von verschränkten Zuständen gibt, die alle drei Felder miteinander verbinden können. Der erste Typ wird durch den GHZ-Zustand repräsentiert.

|GHZ> = 1/√2(|000>+|111>)

„GHZ“ für die drei Physiker Greenberger, Horn und Zeilinger. Der GHZ-Zustand wurde erstmals 1998 experimentell nachgewiesen. Der zweite Typ wird von dem W-Zustand repräsentiert.

|W> = 1/√3(|100>+|010>+ |001> )

„W“ für den Physiker Wolfgang Dür. Diese beiden Zustände sind die ersten Beispiele für die Verschränkung von drei Teilchen. Zu deren Beobachtung wären also nicht nur die Detektoren Alice und Bob, sondern noch ein dritter Detektor an einem weiteren Ort nötig. Die sechste nichtlokale Dimension führt als irrelevanter Phase zu keinem beobachtbaren Effekt. Damit haben wir die Verschränkung von einem System aus drei Qubits beschrieben.

Im nächsten Schritt schauen wir uns 4 Qubits an. Hier vollzieht sich etwas Spannendes: Erstmals überwiegt die Zahl der nichtlokalen Dimensionen. Von den 32 – 1 = 31 Dimensionen sind 
4 • 3 = 12 lokal und 31 – 12 = 19 nichtlokal. Die Kombination aus vier Schachfeldern kennzeichnen wir mit der Nummer Qubit 4{12, 19}.

Je weiter wir in die Quantendimension eintauchen, desto mehr Dimensionen nimmt die Nichtlokalität ein. Während pro Qubit die Anzahl lokaler Dimensionen stets nur um drei zunimmt, vervielfacht sich die Anzahl nichtlokaler Dimensionen exponentiell.
Die unsichtbaren Dimensionen verdoppeln sich mit jedem weiteren Feld und weisen den Weg in eine riesige, in vielen Aspekten noch unbekannte Welt. In unserer Metapher der roten Reiskörner, die exponentiell zunehmen, verdoppelt sich das „Volumen“, das die Reiskörner einnehmen, mit jedem Feld. Jedes rote Reiskorn für sich genommen ist ein kleines Universum, eine Dimension, die mit diesen Milliarden anderer Dimensionen auf komplexe und faszinierende Weise verwoben ist.