Die Bellsche Ungleichung – Bellsche Ungleichung

Wir brauchen nun ein allgemeines Kriterium, mit dem wir jede beliebige Theorie, die die Unabhängigkeit der Messungen von Alice und Bob annimmt, anhand der Messdaten der Korrelationsfunktion auf ihre Gültigkeit testen können. Das allgemeine Kriterium liefert uns die Bell‘sche Ungleichung.

Alice und Bob wählen jeweils zwei verschiedene Winkel (α1, α2), sowie (β1, β2). Auf der Tafel sehen wir einmal zwei Winkeltaschen, die den gewählten Winkel α1 bzw. β1 anzeigen.
Wir werden nun die Gültigkeit des Produktansatzes für die Korrelationsfunktion testen, indem wir einen Widerspruchsbeweis durchführen. Wir nehmen an, dass der Produktansatz richtig ist, und suchen nach einer Kombination von Korrelationsfunktionen, die dieser Annahme widerspricht. Wir beginnen mit der Aussage, dass der im Bild dargestellte Ausdruck nie größer als zwei ist. Die hier abgebildete Differenz ist ebenfalls nie grösser als zwei. Als Beispiel wählen wir den Extremfall. Die Summe aus beiden mathematischen Ausdrücken ist 2 + 0 gleich 2 und damit ebenfalls nicht grösser als 2. Dies gilt auch allgemein.

Wir setzen die Werte aus dem Winkeltaschen in diese Ungleichung ein. Anschließend multiplizieren wir die Klammern aus. Nach Mittelung über viele Messungen ergeben sich jeweils die Korrelationsfunktionen in den vier Winkelkombinationen. Diese Ungleichung ist eine Variante der berühmten Bell‘schen Ungleichung – die CHSH-Ungleichung. Sie wurde unter der Annahme hergeleitet, dass die Messungen von Alice das Resultat bei Bob nicht beeinflussen, und umgekehrt.