Topologie der Quantendimension – Komplexifizierte Funktion

Wie sieht die komplexe Erweiterung einer reellen Funktion f(x) aus, zum Beispiel von der Abbildung von x zu f(x) gleich eins geteilt durch eins plus x^2?

Wir erweitern die reelle Zahl x nun um die imaginäre Komponente i y. Jede reelle Funktion f(x) wird also komplex erweitert, indem x durch
x+ i y ersetzt wird, wie hier im Beispiel zu sehen.

Aus f(x+ i y) entsteht dann zum einen der Realteil in der komplexen Ebene, den wir hier als blau eingefärbte Berglandschaft visualisieren. Es ergibt sich eine erstaunlich reichhaltige mathematische Struktur. Deutlich zu sehen sind zwei Singularitäten, bei plus und minus i.

Zum anderen zeigen wir hier den Imaginärteil von f(x + i y) in der komplexen Ebene.

Jetzt zeigen wir Real- und Imaginärteil zusammen. Es gibt eine sehr interessante Verbindung zwischen dem Real- und dem Imaginärteil: Betrachten wir die Höhenlinien der Berglandschaft, hier zunächst für den Realteil. Nahe den Singularitäten bei plus/minus i werden die Höhenlinien immer dichter.

Und hier die Höhenlinien der Berglandschaft zum Imaginärteil. Es zeigt sich, dass die Höhenlinien von Real- und Imaginärteil sich immer im rechten Winkel schneiden! Das bedeutet aber auch, dass die Information des Realteils im Imaginärteil enthalten ist – und umgekehrt!

Und die gesamte komplexe Struktur ist bereits durch die Funktion f(x) auf der reellen Achse determiniert – auch wenn die tiefere Struktur hier etwas versteckt ist, insbesondere die der Singularitäten. Diese komplexe Erweiterung der Funktion f(x) hilft uns, diese tiefere Struktur besser zu verstehen.

Wie ist das in der Quantendimension? Ist hier auch durch die reellen Wahrscheinlichkeiten alles vorgegeben? Nein, ganz im Gegenteil!

Hier ist der Weg umgekehrt, aus der komplexen Dimension in die reelle Welt. Die unsichtbare Phase zeigt, dass es keinen eindeutigen Zusammenhang zwischen der komplexen Wellenfunktion und den reellen Wahrscheinlichkeiten gibt. Was das für dramatische Konsequenzen hat, zeigen wir in den nächsten Slides.